1. কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
a) (ক) ৮৯
b) (খ) ৭০
c) (গ) ১৭০
d) (ঘ) ১৪২
Answer: (খ) ৭০
Explanation: প্রথমে ১২, ১৮ ও ২৪ এর ল.সা.গু. বের করতে হবে। ১২=২²×৩, ১৮=২×৩², ২৪=২³×৩। ল.সা.গু. = ২³×৩² = ৮×৯ = ৭২। এটিই হলো সেই ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা ১২, ১৮ ও ২৪ দ্বারা বিভাজ্য। প্রশ্নমতে, নির্ণেয় সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে ৭২ হয়। সুতরাং, সংখ্যাটি হলো ৭২-২ = ৭০।
2. নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?
a) (ক) ৯১
b) (খ) ৮৭
c) (গ) ৬৩
d) (ঘ) ৫৯
Answer: (ঘ) ৫৯
Explanation: মৌলিক সংখ্যা হলো সেই সংখ্যা যা ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়। ৯১=৭×১৩, ৮৭=৩×২৯, ৬৩=৭×৯। ৫৯ কে ১ ও ৫৯ ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না।
3. একটি সংখ্যা ৩০১ হতে যত বড় ৩৮১ হতে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
a) (ক) ৩৪০
b) (খ) ৩৪১
c) (গ) ৩৪২
d) (ঘ) ৩৪৪
Answer: (খ) ৩৪১
Explanation: সংখ্যাটি হলো ৩০১ ও ৩৮১ এর গড়। সংখ্যাটি = (৩০১+৩৮১)/২ = ৬৮২/২ = ৩৪১।
4. ক ও খ একত্রে একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। ক একা কাজটি ২০ দিনে করতে পারে। খ একা কাজটি কতদিনে করতে পারবে?
a) (ক) ২৫ দিনে
b) (খ) ৩০ দিনে
c) (গ) ৩৫ দিনে
d) (ঘ) ৪০ দিনে
Answer: (খ) ৩০ দিনে
Explanation: ক ও খ ১ দিনে করে ১/১২ অংশ। ক একা ১ দিনে করে ১/২০ অংশ। সুতরাং, খ একা ১ দিনে করে = (১/১২ - ১/২০) অংশ = (৫-৩)/৬০ অংশ = ২/৬০ = ১/৩০ অংশ। অতএব, খ একা কাজটি করতে সময় নেবে ৩০ দিন।
5. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ । আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 1250 বর্গমিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত?
a) (ক) 30 মিটার
b) (খ) 40 মিটার
c) (গ) 50 মিটার
d) (ঘ) 60 মিটার
Answer: (গ) 50 মিটার
Explanation: ধরি, প্রস্থ x মিটার। তাহলে দৈর্ঘ্য 2x মিটার। ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = 2x × x = 2x²। প্রশ্নমতে, 2x² = 1250 => x² = 625 => x = 25 (প্রস্থ)। সুতরাং, দৈর্ঘ্য = 2x = 2 × 25 = 50 মিটার।
6. দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে একটিকে অপরটির কি বলে?
a) (ক) সন্নিহিত কোণ
b) (খ) সরলকোণ
c) (গ) পূরককোণ
d) (ঘ) সম্পূরক কোণ
Answer: (ঘ) সম্পূরক কোণ
Explanation: দুটি কোণের সমষ্টি ১৮০° বা দুই সমকোণ হলে, কোণ দুটিকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ বলে।
7. বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যাকে কি বলা হয়?
a) (ক) ব্যাস
b) (খ) ব্যাসার্ধ
c) (গ) বৃত্তচাপ
d) (ঘ) পরিধি
Answer: (ক) ব্যাস
Explanation: যে জ্যা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়, তাকে ব্যাস বলে। ব্যাসই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
8. দুটি ত্রিভুজ পরস্পর সর্বসম হওয়ার জন্য নিচের কোন শর্তটি যথেষ্ট নয়?
a) (ক) একটির তিন বাহু অপরটির তিন বাহুর সমান
b) (খ) একটির তিন কোণ অপরটির তিন কোণের সমান
c) (গ) একটির দুই কোণ ও এক বাহু অপরটির দুই বাহু ও অনুরূপ বাহুর সমান
d) (ঘ) একটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ অপরটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণের সমান
Answer: (খ) একটির তিন কোণ অপরটির তিন কোণের সমান
Explanation: একটি ত্রিভুজের তিন কোণ অপর একটি ত্রিভুজের তিন কোণের সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম নাও হতে পারে, তারা সদৃশকোণী হয়। সর্বসম হওয়ার শর্তগুলো হলো: (বাহু-বাহু-বাহু), (বাহু-কোণ-বাহু), (কোণ-বাহু-কোণ) এবং (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু)।
9. কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব হবে?
a) (ক) ৬ : ৫ : ৪
b) (খ) ৩ : ৪ : ৫
c) (গ) ১২ : ৮ : ৪
d) (ঘ) ৬ : ৪ : ৩
Answer: (খ) ৩ : ৪ : ৫
Explanation: পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি বৃহত্তম বাহুর বর্গের সমান হতে হবে। (খ) বিকল্পে, ৩² + ৪² = ৯ + ১৬ = ২৫, এবং ৫² = ২৫। শর্ত পূরণ হওয়ায় এটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করবে।
10. ৩, ৯, ও ৪ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত?
a) (ক) ৪
b) (খ) ১৪
c) (গ) ১৬
d) (ঘ) ১২
Answer: (ঘ) ১২
Explanation: ধরি, চতুর্থ সমানুপাতিক x। তাহলে, ৩:৯ = ৪:x। বা, ৩/৯ = ৪/x। বা, ১/৩ = ৪/x। সুতরাং, x = ১২।
11. f(x) = x³ + kx² – 6x – 9; k এর মান কত হলে f(3) = 0 হবে?
a) (ক) 1
b) (খ) -1
c) (গ) 2
d) (ঘ) 0
Answer: (ঘ) 0
Explanation: f(3) = (3)³ + k(3)² - 6(3) - 9 = 27 + 9k - 18 - 9 = 9k। প্রশ্নমতে, f(3) = 0। সুতরাং, 9k = 0 => k = 0।
12. x > y এবং z < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?
a) (ক) xz > yz
b) (খ) x/z > y/z
c) (গ) z/x < z/y
d) (ঘ) xz < yz
Answer: (ঘ) xz < yz
Explanation: অসমতার উভয় পক্ষকে ঋণাত্মক সংখ্যা (z<0) দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পাল্টে যায়। যেহেতু x>y এবং z ঋণাত্মক, তাই xz < yz হবে।
13. logₐ(m/n) = ?
a) (ক) logₐ m × logₐn
b) (খ) logₐ m – logₐn
c) (গ) logₐm+ logₐn
d) (ঘ) কোনটিই নয়
Answer: (খ) logₐ m – logₐn
Explanation: এটি লগারিদমের একটি মৌলিক সূত্র। লগারিদমে ভাগ থাকলে তা বিয়োগ হয়ে যায়: logₐ(m/n) = logₐm - logₐn।
14. নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা?
a) (ক) ০.৩
b) (খ) √০.৩
c) (গ) ১/৩
d) (ঘ) ২/৫
Answer: (ক) ০.৩
Explanation: সংখ্যাগুলোকে দশমিকে রূপান্তর করলে পাই: (ক) ০.৩, (খ) √০.৩ ≈ ০.৫৪, (গ) ১/৩ ≈ ০.৩৩, (ঘ) ২/৫ = ০.৪। এদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম হলো ০.৩।
15. নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?
a) (ক) ax²+bx +c = 0
b) (খ) y² = ax
c) (গ) x²+y² = 16
d) (ঘ) y² = 2x +7
Answer: (গ) x²+y² = 16
Explanation: কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যাসার্ধ r হলে বৃত্তের সমীকরণ x² + y² = r²। এখানে r² = 16, যা একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করে। (ক) দ্বিঘাত সমীকরণ, (খ) প্যারাবোলা, (ঘ) প্যারাবোলা।
16. a – 1/a = 3 হলে , a³ - 1/a³ এর মান কত?
a) (ক) 9
b) (খ) 18
c) (গ) 27
d) (ঘ) 36
Answer: (খ) 18
Explanation: প্রশ্নটি ভুল। a-1/a থেকে a³+1/a³ এর মান সরাসরি বের করা যায় না। যদি প্রশ্নটি a³ - 1/a³ হতো, তাহলে মান হতো (a-1/a)³+3(a-1/a) = 3³+3(3) = 36। যদি প্রশ্নটি a+1/a=3 হতো, তাহলে a³+1/a³ এর মান হতো 3³-3(3) = 18। প্রশ্নটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ায় পিএসসি কর্তৃক বাতিল করা হয়েছে।
17. a + b = 7 & a²+b² = 25 হলে নিচের কোনটি ab এর মান হবে?
a) (ক) 12
b) (খ) 10
c) 6
d) (ঘ) কোনটিই নয়
Answer: (ক) 12
Explanation: আমরা জানি, (a+b)² = a² + 2ab + b²। বা, 2ab = (a+b)² - (a²+b²)। মান বসিয়ে পাই: 2ab = (7)² - 25 = 49 - 25 = 24। সুতরাং, ab = 24/2 = 12।
18. একটি মিনারের পাদদেশ হতে ২০ মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?
a) (ক) 20√7 মিটার
b) (খ) 20/√3 মিটার
c) (গ) 20 মিটার
d) (ঘ) 10√3 মিটার
Answer: (খ) 20/√3 মিটার
Explanation: ধরি, মিনারের উচ্চতা h এবং পাদদেশ থেকে দূরত্ব d=20 মিটার। উন্নতি কোণ θ=30°। আমরা জানি, tanθ = লম্ব/ভূমি = h/d। সুতরাং, tan30° = h/20। বা, 1/√3 = h/20। অতএব, h = 20/√3 মিটার।
19. ১৩(৩/৪)% এর সমান-
a) (ক) ১১/৮০
b) (খ) ১১/২০
c) (গ) ১/৯
d) (ঘ) ১/৮
Answer: (ক) ১১/৮০
Explanation: ১৩(৩/৪)% = (৫৫/৪)% = (৫৫/৪) × (১/১০০) = ৫৫/৪০০। ৫৫ এবং ৪০০ উভয়কে ৫ দিয়ে ভাগ করলে হয় ১১/৮০।
20. 3x³ + 2 x² – 21x – 20 রাশিটির একটি উৎপাদক হচ্ছে-
a) (ক) x + 2
b) (খ) x – 2
c) (গ) x + 1
d) (ঘ) x – 1
Answer: (গ) x + 1
Explanation: ভাগশেষ উপপাদ্য ব্যবহার করে সমাধান করা যায়। ধরি, f(x) = 3x³ + 2x² - 21x - 20। x+1 একটি উৎপাদক হবে যদি f(-1)=0 হয়। f(-1) = 3(-1)³ + 2(-1)² - 21(-1) - 20 = -3 + 2 + 21 - 20 = 23-23=0। সুতরাং, x+1 একটি উৎপাদক।
